タスクキルとはどういうものですか？ また、そのタスクキルというのはどういう風に発生させるのでしょうか？

アプリを強制終了させることです。

iPhoneやiPadでは、ホームボタンの２度押しから、アプリの画面を上にスワイプさせると手早く強制終了できます。

Androidでは、四角が二つ重なっているボタンを押して、アプリの画面を横にスワイプだったと思います。OSのバージョンや機種によって、微妙に違うかもしれません。

ポケモンGOでは、主に以下の場合に使われます。

・アプリが正しく動かなくなった場合。ジムバトルが始まらなかったり、捕獲画面で動かなくなってしまったり。正常なプレイが出来なくなった場合は、タスクキルして再起動するしかありません。

・進化のアニメーションを飛ばしたい場合。スマホの性能にもよりますが、ほとんどの場合は、アニメ終わりを待つよりはタスクキルから再起動したほうが早いです。しあわせたまごを使いながら、なるべく沢山のポケモンを進化させたい時などに有効です。

また、他のアプリを全て終了させると、ポケモンGOをプレイ中に問題が出にくくなります。